Schattenlänge berechnen
Die einzeilige Formel für die Schattenlänge, Rechenbeispiele, der umgekehrte Weg zu Höhe oder Sonnenwinkel und wie sich Schatten über Tag und Jahr verändern.
Auf ebenem Boden hängt die Länge eines Schattens nur von zwei Dingen ab: wie hoch das Objekt ist und wie hoch die Sonne steht. Deshalb lassen sich Schatten leicht berechnen, und das ist erstaunlich nützlich, von der Gartenplanung bis zur Höhenmessung eines Baums.
Die Formel
Mit der Objekthöhe h und der Sonnenhöhe α (dem Winkel über dem Horizont) gilt:
Einige Werte von 1 ÷ tan(α) lohnt es sich zu merken:
| Sonnenhöhe | Schatten ist … mal so lang wie die Höhe |
|---|---|
| 60° | 0,58 |
| 45° | 1,00 |
| 30° | 1,73 |
| 20° | 2,75 |
| 10° | 5,67 |
| 5° | 11,4 |
Kurz nach Sonnenaufgang und vor Sonnenuntergang werden Schatten extrem lang: Bei 1° Sonnenhöhe wirft ein 2 m großer Mensch einen etwa 115 m langen Schatten.
Rechenbeispiele
- Ein 10 m hoher Baum, Sonne bei 25°: L = 10 ÷ tan 25° = 10 ÷ 0,466 = 21,4 m.
- Ein 1,8 m hoher Zaun, Sonne bei 18° (Mittag im Dezember auf etwa 48° N): L = 1,8 ÷ 0,325 = 5,5 m. Derselbe Zaun im Juni, mit der Sonne bei etwa 65°: L = 1,8 ÷ 2,14 = 0,84 m.
- Ein 30 m hohes Gebäude, Sonne bei 40°: L = 30 ÷ 0,839 = 35,8 m.
Der umgekehrte Weg
Höhe aus dem Schatten. Kennen Sie die Sonnenhöhe, gilt h = L × tan(α). Ein Baum, der bei 35° Sonnenhöhe einen 15 m langen Schatten wirft, ist 15 × 0,700 = 10,5 m hoch.
Ohne Sonnenhöhe hilft ein Vergleichsobjekt: Messen Sie im selben Moment den Schatten eines Stabs bekannter Höhe. Baumhöhe = Stabhöhe × (Baumschatten ÷ Stabschatten). So soll schon Thales von Milet die Höhe der Cheops-Pyramide bestimmt haben.
Sonnenhöhe aus dem Schatten. α = arctan(h ÷ L). Wirft ein 1 m langer Stab einen 1,5 m langen Schatten, steht die Sonne arctan(0,667) = 33,7° hoch.
Richtung
Ein Schatten zeigt immer genau von der Sonne weg: Seine Richtung ist der Azimut der Sonne plus 180°. Auf der Nordhalbkugel in mittleren Breiten zeigen Mittagsschatten genau nach Norden, Morgenschatten ungefähr nach Westen (im Sommer nach Südwesten, im Winter nach Nordwesten) und Abendschatten ungefähr nach Osten (im Sommer nach Südosten, im Winter nach Nordosten).
Im Tages- und Jahreslauf
Am kürzesten sind Schatten zum Sonnenmittag, zu Sonnenaufgang und Sonnenuntergang hin werden sie länger. Die Schattenspitze beschreibt im Laufe des Tages eine Kurve. An den Tagundnachtgleichen ist diese Kurve fast eine gerade Ost-West-Linie, im Sommer und im Winter krümmt sie sich in entgegengesetzte Richtungen. Der Schattenlängen-Rechner zeigt diese Kurve für jeden Ort und jedes Datum, zusammen mit Länge und Richtung des Schattens zu jedem Zeitpunkt.
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für die Schattenlänge?
Schattenlänge = Objekthöhe ÷ tan(Sonnenhöhe). Steht die Sonne zum Beispiel 30° hoch, wirft ein 2 m hoher Pfahl einen Schatten von 2 ÷ tan 30° = 3,46 m.
Wann ist ein Schatten genauso lang wie das Objekt?
Wenn die Sonne 45° über dem Horizont steht, denn tan 45° = 1.
Wie bestimme ich die Höhe eines Baums anhand seines Schattens?
Messen Sie gleichzeitig den Schatten des Baums und den Schatten eines Gegenstands bekannter Höhe, etwa eines 1 m langen Stabs. Die Höhen stehen im selben Verhältnis wie die Schatten. Alternativ nehmen Sie die Sonnenhöhe aus einem Rechner und multiplizieren die Schattenlänge mit tan(Sonnenhöhe).
In welche Richtung zeigt ein Schatten?
Genau von der Sonne weg. Liegt der Azimut der Sonne bei 135° (Südost), zeigt der Schatten nach 315° (Nordwest).