Comment calculer la longueur d'une ombre
La formule de la longueur d'une ombre en une ligne, des exemples chiffrés, le calcul inverse pour trouver une hauteur ou l'angle du soleil, et l'évolution des ombres au fil du jour et de l'année.
Sur un sol plat, la longueur d’une ombre ne dépend que de deux choses : la hauteur de l’objet et la hauteur du soleil. Les ombres sont donc faciles à calculer, et étonnamment utiles, que ce soit pour aménager un jardin ou pour mesurer un arbre.
La formule
Avec la hauteur de l’objet h et la hauteur du soleil α (l’angle au-dessus de l’horizon) :
Quelques valeurs de 1 ÷ tan(α) méritent d’être retenues :
| Hauteur du soleil | L’ombre mesure … fois la hauteur |
|---|---|
| 60° | 0,58 |
| 45° | 1,00 |
| 30° | 1,73 |
| 20° | 2,75 |
| 10° | 5,67 |
| 5° | 11,4 |
Près du lever et du coucher du soleil, les ombres deviennent extrêmement longues : à 1° de hauteur, une personne de 2 m projette une ombre d’environ 115 m.
Exemples chiffrés
- Un arbre de 10 m, soleil à 25° : L = 10 ÷ tan 25° = 10 ÷ 0,466 = 21,4 m.
- Une clôture de 1,8 m, soleil à 18° (midi en décembre vers 48° N) : L = 1,8 ÷ 0,325 = 5,5 m. La même clôture en juin, avec le soleil à environ 65° : L = 1,8 ÷ 2,14 = 0,84 m.
- Un immeuble de 30 m, soleil à 40° : L = 30 ÷ 0,839 = 35,8 m.
Le calcul inverse
La hauteur à partir d’une ombre. Si vous connaissez la hauteur du soleil, h = L × tan(α). Un arbre dont l’ombre mesure 15 m quand le soleil est à 35° mesure 15 × 0,700 = 10,5 m.
Sans connaître la hauteur du soleil, utilisez une référence : au même moment, mesurez l’ombre d’un bâton de hauteur connue. Hauteur de l’arbre = hauteur du bâton × (ombre de l’arbre ÷ ombre du bâton). C’est ainsi que Thalès de Milet aurait mesuré la Grande Pyramide.
La hauteur du soleil à partir d’une ombre. α = arctan(h ÷ L). Un bâton de 1 m avec une ombre de 1,5 m signifie que le soleil est à arctan(0,667) = 33,7° de hauteur.
La direction
Une ombre pointe toujours à l’opposé exact du soleil : sa direction est l’azimut du soleil plus 180°. Dans l’hémisphère Nord, aux latitudes moyennes, les ombres de midi pointent plein nord, celles du matin à peu près vers l’ouest (sud-ouest en été, nord-ouest en hiver) et celles du soir à peu près vers l’est (sud-est en été, nord-est en hiver).
Au fil du jour et de l’année
Les ombres sont les plus courtes au midi solaire et s’allongent vers le lever et le coucher du soleil. L’extrémité d’une ombre trace une courbe au cours de la journée. Aux équinoxes, cette courbe est presque une ligne droite est-ouest ; en été et en hiver, elle s’incurve dans des sens opposés. Le calculateur de longueur d’ombre affiche cette courbe pour n’importe quel lieu et n’importe quelle date, avec la longueur et la direction de l’ombre à tout instant.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la longueur d'une ombre ?
Longueur de l'ombre = hauteur de l'objet ÷ tan(hauteur du soleil). Par exemple, avec un soleil à 30°, un poteau de 2 m projette une ombre de 2 ÷ tan 30° = 3,46 m.
Quand une ombre est-elle aussi longue que l'objet ?
Quand le soleil est à 45° au-dessus de l'horizon, car tan 45° = 1.
Comment trouver la hauteur d'un arbre grâce à son ombre ?
Mesurez au même moment l'ombre de l'arbre et celle d'un objet de hauteur connue (par exemple un bâton de 1 m). Les hauteurs sont dans le même rapport que les ombres. Ou bien prenez la hauteur du soleil donnée par un calculateur et multipliez la longueur de l'ombre par tan(hauteur).
Dans quelle direction pointe une ombre ?
À l'opposé exact du soleil. Si l'azimut du soleil est de 135° (sud-est), l'ombre pointe vers 315° (nord-ouest).